Noción de Límite – Análisis Matemático

No siempre trabajar en Matemática significa realizar cálculos. Muchas veces es necesario hacer especulaciones con respecto al comportamiento de una función y justificar las afirmaciones realizadas, lo cual no se reduce a cuentas, sino a razonamientos lógicos.

Supongamos que invité a un amigo a cenar. Vamos a comer una pizza, por lo tanto la partiremos por la mitad y cada uno comerá 1/2 pizza. Justo antes de sentarnos a comer, llegaron 3 amigos más, por lo que ahora nuestra pizza debemos repartirla entre 5, y terminaremos comiendo cada uno 1/5 de pizza. Las porciones ahora, por supuesto, son más pequeñas, y si llegáramos a ser 𝑛 amigos, siendo 𝑛 un número grande, entonces cada uno comerá 1/𝑛 pizza. Esto es porque podemos acercarnos tanto como queramos a tener una porción cada vez más pequeña, según los amigos que seamos, para que todos podamos comer.

En matemática podemos definir esta situación mediante símbolos, y sería:

Analicemos esa expresión:

• n → ∞ se lee “𝑛 tiende a infinito”, donde 𝑛 es la cantidad de amigos que comeremos la pizza, y lo hacemos tender a infinito porque suponíamos la situación de que cada vez seamos más para comer.
• 1/𝑛 hace referencia al tamaño de la pizza que comerá cada uno (la porción).
• Es igual a 0 porque mientras más amigos seamos, más pequeña será la porción que comerá cada uno, y ese tamaño se va acercando cada vez más a ser “nada”, por eso su valor es 0.

En conclusión, podemos afirmar que con la palabra “límite”, nos referimos a acercarnos tanto como queramos a una situación en particular.

En esta área, podemos analizar el límite de cualquier función cuando nos acercamos a cualquier valor de la variable 𝑥. Por ejemplo, consideremos la función:

Claramente el valor −2 no pertenece a su dominio pero, ¿Qué ocurrirá con el límite de esta función cuando 𝑥→−2?
Si buscamos una expresión equivalente a la función dada, concluimos que se trata de una función lineal, ya que:

Y su gráfico es:

Por lo tanto decimos que:

Afirmamos entonces que no es condición necesaria que la función esté definida en un punto para poder analizar el valor de su límite cuando 𝑥 tiende al mismo. Es decir, hablar de límite en un punto 𝑥0 no significa calcular la imagen de la función en 𝑥0, sino analizar qué sucede con las imágenes cuando 𝑥 toma valores cada vez más cercanos a 𝑥0.Hemos visto de forma intuitiva cómo encontrar el límite de una función, pero ahora analicemos su definición formal.

En palabras, esto significa que el límite de una función 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 es igual a 𝐿 si para cualquier valor 𝜀 (pequeño), podemos encontrar un 𝛿 tal que si 𝑥 pertenece al intervalo (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿) entonces la imagen de 𝑓 pertenece al intervalo (𝐿 − 𝜀 ; 𝐿 + 𝜀).
En nuestra función, sería de la siguiente forma: